ΙΜΟ 2018 1o πρόβλημα και προτεινόμενη λύση

Πρόβλημα 1


Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.


Λύση

Έστω πως η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του σε σημείο .

Παρατηρούμε πως .

Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, με .

Όμοια αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο , τότε .

Θα αποδείξουμε πως , δηλαδή .

Παρατηρούμε πως , ενώ (αφού η είναι επίκεντρη της στο κύκλο με κέντρο και ακτίνα .

Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως , δηλαδή .

Ξέρουμε όμως πως , από τον ορισμό του .

Άρα αρκεί .

Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και , άρα η είναι η διχοτόμος της .

Αν το δεν ήταν ισοσκελές, τότε αφού το ανήκει στη διχοτόμο της και , θα έπρεπε το να είναι εγγράψιμο (θεώρημα νότιου πόλου), άτοπο, αφού ο περιγεγραμμένος κύκλος του είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του και το δεν ανήκει σε αυτό το κύκλο.

Άρα το είναι ισοσκελές με και το ζητούμενο έπεται.

https://mathematica.gr/