Γεωμετρία και Αριθμητική

Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

Ιστορία

Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαμέτρου του, περίπου ίσο με 3+1/8.

Σχήμα Ευκλείδειας γεωμετρίας

Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο, ο οποίος είναι και ο πρώτος που εισάγει την έννοια της "απόδειξης" ως μέσον επαλήθευσης μιας γεωμετρικής πρότασης. Ο Πυθαγόρας έθεσε την γεωμετρία σε πλήρως θεωρητικό και φιλοσοφικό επίπεδο, αλλά ολοκλήρωσε και την έννοια και την πρακτική της αποδεικτικής διαδικασίας. Ονόμαζε δε την γεωμετρία ο Πυθαγόρας ιστορία («καλεῖτο δέ ἡ γεωμετρία πρός Πυθαγόρου ἱστορία.»).

Η λέξη ιστορία από την ετυμολογία της σημαίνει γνώση μέσα από έρευνα, αλλά αυτό δεν είναι αρκετό. Την βαθύτερη σημασία και ερμηνεία της χρήσης αυτής της λέξης, δεν παρουσιάζει κανένας φιλόσοφος και ο Ιάμβλιχος αρκείται στην πληροφοριακή μόνο καταγραφή. Μην ξεχνάμε ότι η αποκάλυψη των βαθύτερων μυστικών δινόταν σε μαθητές, μετά από εξαντλητικό έλεγχο της εσωτερικής αξίας τους. Θεώρησε επίσης την γεωμετρία ως μία εκ των τεσσάρων επιστημών, οι οποίες αποτελούν μέρος της φιλοσοφίας και θεολογίας του συστήματος του. Οι άλλες τρεις επιστήμες είναι η αριθμητική, η μουσική και η αστρονομία και όλες σχετίζονται εννοιολογικά μεταξύ τους έχοντας ενιαία θεωρητική βάση. Έτσι θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Θαλής είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής γεωμετρίας, ενώ ο Πυθαγόρας είναι ο θεμελιωτής της.

Στους Έλληνες λοιπόν η Γεωμετρία παίρνει πρώτη φορά την έννοια της καθαρής γνώσης και επιστήμης. Γενικά αυτό θεωρείται ότι ολοκληρώθηκε με τον Ευκλείδη, αλλά ήδη ο Πλάτωνας δείχνει ότι αυτή η θέση είχε καθιερωθεί από πολύ παλαιότερα στους Έλληνες. Εκφράζει ο τελευταίος μάλιστα την άποψη στα έργα του «Πολιτεία» και «Επινομίς» ότι η "γεωμετρία" σαν λέξη είναι γελοία (γελοῖον ὄνομα γεωμετρίαν), αναφερόμενος στο ότι ετυμολογικά σημαίνει «μετράω την γη», ακολουθώντας έτσι την άποψη της χρήσης της γεωμετρίας για την μέτρηση των πραγμάτων του υλικού κόσμου και όχι για την άσκηση της ψυχής στην θέαση των αιώνιων αληθειών.

Ο Πλάτωνας παρουσίασε τις αριθμητικές και τις γεωμετρικές έννοιες ως τον ιδανικό κόσμο, ή κόσμο των ιδεών. Υποστήριξε  μάλιστα πως ο κόσμος είναι κατασκευασμένος από πέντε στερεά που σήμερα ονομάζονται Πλατωνικά στερεά και είναι τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα: το τετράεδρο(ή τριγωνική πυραμίδα), το εξάεδρο (ή κύβος), το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Την άποψη αυτή για τον κόσμο δεχόταν και ο Αριστοτέλης, αλλά και πολύ μετά από αυτόν οι Αλχημιστές και πολλοί άλλοι μέχρι και σήμερα.

Οι Έλληνες γεωμέτρες προσέγγιζαν την γεωμετρία σαν επιστήμη καθαρής γνώσης και έπρεπε να βρίσκουν αποδείξεις εφαρμοζόμενες με τον κανόνα και τον διαβήτη, σύμφωνα με τις επιταγές που καθορίστηκαν οριστικά από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που αποτελείται από 13 τόμους. Δημιούργησαν έτσι την αποδεικτική θεωρητική γεωμετρία , σε αντίθεση με την εμπειρική γεωμετρία που επικρατούσε, εξέλιξη η οποία κορυφώνεται στην Αλεξανδρινή εποχή. Η γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος των μαθηματικών που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση από τον Ευκλείδη στα "Στοιχεία" του, και δικαιολογημένα ονομάζεται "Ευκλείδεια γεωμετρία". Το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, δηλαδή ότι θα πρέπει να δεχθούμε αξιωματικά ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, γιατί δε μπορούμε να το αποδείξουμε.

Η γεωμετρία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο φιλοσοφικό σύστημα του Καντ, ο οποίος μιλούσε για καθαρή εποπτεία, η οποία ουσιαστικά ήταν γεωμετρικά σχήματα. Ειρωνικά, μέσω της γεωμετρίας δείχθηκαν εποπτικά τα σφάλματα αυτού του συστήματος. Έτσι, προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν. Στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλη αντίστοιχα.

 

Σύγχρονες αντιλήψεις της γεωμετρίας

 

Προβολή επιπέδου υπερβολικής γεωμετρίας στον τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο.

Η σημερινή επιστήμη αποδέχεται την ευκλείδεια γεωμετρία θεωρώντας την ως τη πιο βασική και εφαρμόσιμη μορφή της. Επιπλέον, υπάρχουν και δύο προαναφερθείσες μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ονομάζονται και απόλυτες γεωμετρείες και μπορούν να απεικονιστούν στην ευκλείδεια, αλλά έχουν αναπτυχθεί και άλλες. Παράδειγμα μιας άλλης γεωμετρίας είναι ο τετραδιάστατος κατά τα άλλα ευκλείδειος χώρος.

Η μελέτη της γεωμετρίας γίνεται πλέον με συστήματα αναφοράς και με βάση την έννοια του διανύσματος. Με αυτόν τον τρόπο πολλές γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να αλγεβροποιηθούν, δηλαδή να γίνουν αριθμητικές σχέσεις και να μελετηθούν αλγεβρικά. Αυτή η μελέτη της γεωμετρίας είναι ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών και ονομάζεται αναλυτική γεωμετρία.
Η γεωμετρία είναι χρήσιμη σε άλλους κλάδους των μαθηματικών και επιστημών, όπως είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, η Άλγεβρα και η Φυσική.

 

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών και αναλυτικής γεωμετρίας

 

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών

Σε όλες σχεδόν τις γεωμετρίες ορίζονται αρχικά τρεις έννοιες το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Για να γίνουν αντιληπτές η σφαιρική και η υπερβολική γεωμετρία συνήθως προβάλλουμε ένα επίπεδό τους στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ενώ οι ιδιότητες της ευκλείδειας γεωμετρίας θεωρούνται γνωστές. Ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύστημα αναφοράς, για να κατασκευάσουμε την αντίστοιχη αναλυτική γεωμετρία.

• Επίπεδο: Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδεια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα σελοειδές σχήμα για την υπερβολική. Η παραγωγή του σελοειδούς διαφαίνεται στο σχήμα αριστερά. Όλα τα σχήματα της κάθε γεωμετρίας τα θεωρούμε για λόγους ευκολίας πάνω σε αυτές τις επιφάνειες. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί.

• Σημείο: Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.

• Ευθεία: Η ευθεία της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμιά παράλληλος, ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.

• σύστημα αναφοράς: Στην ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.

Με βάση τα παραπάνω μπορούν να οριστούν στην κάθε γεωμετρία τα βασικά γεωμετρικά σχήματα όπως τα τρίγωνα και τα ευθύγραμμα τρίγωνα και να μελετηθούν οι ιδιότητές τους.


Η αριθμητική (από την ελληνική λέξη:"αριθμός") είναι ο παλαιότερος και πιο στοιχειώδης κλάδος των μαθηματικών, χρησιμοποιείται σχεδόν από όλους, από απλές καθημερινές δραστηριότητες μέτρησης ως προχωρημένους επιστημονικούς ή οικονομικούς υπολογισμούς. Στη συνήθη της χρήση, η λέξη αναφέρεται σε ένα κλάδο του προκατόχου των σύγχρονων μαθηματικών, που καταγράφει βασικές ιδιότητες ορισμένων πράξεων μεταξύ αριθμών.

Η λέξη αριθμητική χρησιμοποιείται σπάνια πια, ενώ τη θέση της την πήρε η λέξη Μαθηματικά. Μία απάντηση που δίνουν, είναι, ότι η αριθμητική ασχολείται με την εκμάθηση αριθμών και των πράξεών τους, ενώ τα Μαθηματικά ασχολούνται και με τη Γεωμετρία. Στη συνέχεια στον κλάδο προστέθηκε και η Άλγεβρα, η οποία στις πράξεις της εκτός από αριθμούς χρησιμοποιεί και γράμματα, σε αντίθεση με την Αριθμητική που χρησιμοποιεί μόνο αριθμούς.

Επίσης αναπτύχθηκε και ο κλάδος της Μαθηματική Ανάλυση μέσα από την άλγεβρα και την αριθμητική. Οι όροι Αριθμητική και Ανώτερη αριθμητική χρησιμοποιήθηκαν μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα ως συνώνυμα για την θεωρία αριθμών και μερικές φορές ακόμα χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε ένα ευρύτερο τμήμα της θεωρίας αριθμών

 Οι βασικές πράξεις στην Αριθμητική είναι

• Η Πρόσθεση με σύμβολο το «+».

Οι αριθμοί που προστίθενται λέγονται προσθεταίοι και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται άθροισμα.

Η απλούστερη μορφή της πρόσθεσης είναι όταν συνδυάζει δύο μόνο προσθετέους.

π.χ. 2+4=6.

Μπορούν όμως να προστεθούν και απείρως πολλοί αριθμοί σε μια άπειρη σειρά.

π.χ. 2+4+6+8+7+3+1...

Η συνεχής προσθήκη του αριθμού 1 χρησιμοποιείται για την καταμέτρηση.

π.χ. 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4,...

Στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κατά την οποία οι αριθμοί μπορούν να αλλάξουν σειρά χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα.

π.χ. 2+4=6 ή 4+2=6.

Ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση είναι ο αριθμός 0. Προσθέτοντας κάποιους αριθμούς με το 0, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

π.χ. 4+5=9 και 4+5+0=9

Επίσης αντίθετος κάποιου αριθμού, είναι ο αρνητικός του. Η πρόσθεση αυτών των δύο, δίνει αποτέλεσμα 0.

π.χ. 3+(-3)=0

• Η Αφαίρεση με σύμβολο το «-».

Η αφαίρεση βρίσκει τη διαφορά δύο αριθμών. Οι ο πρώτος αριθμός λέγεται μειωτέος, ο δεύτερος αφαιρετέος και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται διαφορά.

π.χ. 4-3=1.

Αν ο μειωτέος είναι μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο, η διαφορά είναι θετική.

π.χ. 8-3=5.

Αν ο μειωτέος είναι μικρότερος από τον αφαιρετέο, η διαφορά είναι αρνητική.

π.χ. 3-5=-2.

Αν είναι ίσα, η διαφορά είναι μηδέν.

π.χ. 3-3=0.

Στην αφαίρεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα

π.χ. 4-3=1 και 3-4=-1.

• Ο Πολλαπλασιασμός με σύμβολο το «×».

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται γινόμενο.

π.χ. 4x3=12.

Σον Πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κατά την οποία οι αριθμοί μπορούν να αλλάξουν σειρά χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα.

π.χ. 2x4=8 ή 4x2=8.

Ουδέτερο στοιχείο στον Πολλαπλασιασμό είναι ο αριθμός 1. Προσθέτοντας κάποιους αριθμούς με το 1, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

π.χ. 4x5=20 και 4x5x1=20

• Η Διαίρεση με σύμβολο το «:».

Οι ο πρώτος αριθμός(Δ: ...=....) λέγεται διαιρετέος, ο δεύτερος διαιρέτης(... : δ =....) και το αποτέλεσμα της πράξης(Δ:δ=π) λέγεται πηλίκο.

π.χ. 8:4=2

Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του Πολλαπλασιασμού.

π.χ Όταν 5x8=40 τότε 40:5=8 και 40:8=5

Η διαίρεση λέγεται τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι 0 και ατελής όταν το υπόλοιπο είναι διάφορο του 0. Δεκαδικός αριθμός είναι ο αριθμός που προκύπτει από μια ατελή διαίρεση.

Η διαίρεση μπορεί να γραφεί και με την μορφή εξίσωσης: Δ=δ*π+υ όπου Δ:διαιρετέος ,δ:διαιρέτης,π:πηλίκο,υ:υπόλοιπο

   

Αριθμητική παράσταση

Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων λέγεται Αριθμητική παράσταση και το αποτέλεσμα αυτών των πράξεων λέγεται τιμή της Αριθμητικής παράστασης.

π.χ 2+9+4-8+3(5-2)=16

Προτεραιότητα των πράξεων στις αριθμητικές παραστάσεις: οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά:

1. πρώτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις
2. έπειτα οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις

Αν όμως υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. 

Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς. Μια αριθμητική παράσταση μπορεί να περιλαμβάνει παρενθέσεις, αγκύλες κλπ, δηλαδή σύμβολα αλλαγής της σειράς εκτέλεσης των πράξεων.

Η σωστή (συμβατικά) σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι η εξής: Υπολογίζουμε τις δυνάμεις, κάνουμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις και τέλος κάνουμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν όμως υπάρχουν παρενθέσεις τότε προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την παραπάνω σειρά.

Ο αριθμός που προκύπτει μετά από την εκτέλεση όλων των πράξεων λέγεται τιμή της αριθμητικής παράστασης. Αν θέλουμε να αποφύγουμε τα λάθη, φροντίζουμε να κάνουμε τις ενδιάμεσες πράξεις χωριστά.

Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης 

2*(17-4²)-3*5²+(3*2+4)*(4-6)³:(5-2*7+8)

 A) Εκτελούμε τις πράξεις μέσα σε κάθε παρένθεση χωριστά:

  α) 17-42 = 17 - 16 = 1
  β) 3*2+4 = 6+4 = 10
  γ) 4-6 = -2
  δ) 5-2*7+8 = 5-14+8=5+8-14=13-14=-1

 και αντικαθιστούμε με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:  

 2*1-3*52+10*(-2)3:(-1)

 B) Υπολογίζουμε τις δυνάμεις: 

 α) 52=5*5=25
 β) (-2)3 = -8

 και αντικαθιστούμε με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:  

 Γ) Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις :

2*1-3*25+10*(-8):(-1)
Δ) Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά που γράφονται:

2-75+80=7 το 7 είναι η τιμή της παραπάνω αριθμητικής παράστασης.Παρατηρήστε ότι κατά την αντικατάσταση, όταν ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα έχει πρόσημο (ή είναι κλάσμα) γράφεται σε παρένθεση. Οι παρενθέσεις αυτές απαλείφονται οριστικά ακριβώς πριν από την εκτέλεση των προσθέσεων, την στιγμή δηλαδή που η αριθμητική παράσταση είναι ένα αλγεβρικό άθροισμα.

https://el.wikipedia.org/wiki