Να λυθεί το παραμετρικό σύστημα στο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών R-{A}

 Εστω R-{A} το υποσύνολο των πραγματικών αριθμών R, όπου το σύνολο {Α} είναι το σύνολο των άρρητων αριθμών. Να λυθεί για τις  τιμές  λ  το παρακάτω παραμετρικό σύστημα 2x2

 

(λ-1)x+y=0  

 

x+(λ-1)y=0   

 

Λύση    

 

Υπολογίζω την ορίζουσα D του συστήματος

 

D=(λ-1)²-1 = (λ-1-1)(λ-1+1)=(λ-2)λ

 

Περιπτώσεις 

 

(1) Αν D διάφορο του μηδενός δηλαδή  λ διάφορο του 0 και του 2 ,το παραμετρικό σύστημα έχει μοναδική λύση 

x=D_x / D , y=D_{y /} D

 

Υπολογίζω τις υποορίζουσες D_x , D_y  

 

D_x= 0 και D_y=0 ,  επομένως x=0 και y=o μοναδική λύση

(2) Eάν D=0 τότε έχω D=λ(λ-2)=0 -> λ=0 ή λ=2  

Eάν λ=0 το αρχικό σύστημα γίνεται -x+y=0  (3) x- y=0  (4)  

Oι σχέσεις (3) και (4) είναι ισοδύναμες με την εξίσωση x-y=0 

Λύνω τη παραπάνω εξίσωση 

ως προς x και έχω x=y όπου το y παίρνει τιμές στο R-{A}

Aυτό σημαίνει ότι όταν λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής 

x=y όπου το y παίρνει τιμές στο R-{A} 

Εάν  λ=2 το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τη σχέση x+y=0   (5) 

Λύνω τη παραπάνω εξίσωση ως προς x και έχω x=-y όπου το y παίρνει τιμές στο R - {Α}

Aυτό σημαίνει ότι για λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y όπου το y παίρνει τιμές στο R -{Α}

Επομένως

Εάν η ορίζουσα D είναι διάφορη  του μηδενός δηλαδή για λ διάφορο του 0 και του 2 η λύση του συστήματος είναι η μηδενική  

Εάν D=0 δηλαδή για λ=0 ή λ=2  το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις 

Περιπτώσεις

Εάν λ=0 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=y όπου το y παίρνει τιμές στο R -{Α}

Εάν λ=2 το αρχικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής  x=-y όπου το y παίρνει τιμές στο  R-{Α}