Ο Αρχιμήδης

Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (ή Αρχιμήδης, περ. 287 π.Χ. – περ. 212 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός, εφευρέτης και αστρονόμος. Αν και λίγες λεπτομέρειες από τη ζωή του είναι γνωστές, θεωρείται ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες στην κλασική αρχαιότητα.

Η παρακαταθήκη του στη φυσική είναι, μεταξύ άλλων, οι βάσεις της υδροστατικής, της στατικής και μια εξήγηση της αρχής του μοχλού. Αυτός πιστώνεται με τον σχεδιασμό καινοτόμων μηχανών, συμπεριλαμβανομένων των πολιορκητικών μηχανών και των αντλιών με κοχλία που φέρουν το όνομά του.

Αντικείμενο έρευνας έχουν αποτελέσει οι ισχυρισμοί πως ο Αρχιμήδης σχεδίασε μηχανές ικανές να επιτίθενται σε πλοία, να τα σηκώνουν έξω από το νερό και να τα πυρπολούν, χρησιμοποιώντας μια σειρά από καθρέφτες.

Ο Αρχιμήδης θεωρείται ότι είναι ο σπουδαιότερος από τους μαθηματικούς της αρχαιότητας και ένας από τους σπουδαιότερους όλων των εποχών.

Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης, για τον υπολογισμό της περιοχής, κάτω από το τόξο παραβολής, με την άθροιση άπειρης σειράς και έδωσε μια εξαιρετικά ακριβή προσέγγιση για τον αριθμό π.

 Όρισε, επίσης, την επίπεδη έλικα (σπείρα) που έφερε το όνομά του, τύπους για τον όγκο των επιφανειών εκ περιστροφής και ένα ευφυές σύστημα για την έκφραση πολύ μεγάλων αριθμών.

 

 

 

 

Η Αρχή του Αρχιμήδη 

Ο Αρχιμήδης μπορεί να είχε χρησιμοποιήσει την αρχή της πλευστότητας για να καθοριστεί αν η χρυσή κορώνα ήταν λιγότερο πυκνή από το ατόφιο χρυσάφι.

Η πιο γνωστή ιστορία για τον Αρχιμήδη αφορά την μέθοδο που εφηύρε για τον προσδιορισμό του όγκου ενός αντικειμένου με ακανόνιστο σχήμα. Σύμφωνα με τον Βιτρούβιο, ο βασιλιάς Ιέρωνας Β είχε παραγγείλει να του φτιάξουν ένα αναθηματικό στέμμα από ατόφιο χρυσάφι. Επειδή δεν είχε εμπιστοσύνη στον χρυσοχόο, ζήτησε από τον Αρχιμήδη να εξετάσει αν ο χρυσός είχε νοθευτεί με ασήμι. Επειδή ο Αρχιμήδης έπρεπε να λύσει το πρόβλημα χωρίς να καταστρέψει το στέμμα, δεν μπορούσε να το λιώσει προκειμένου να υπολογίσει την πυκνότητα του και την προέλευση του.

Καθώς έκανε μπάνιο, παρατήρησε ότι η στάθμη του νερού στην μπανιέρα ανέβηκε όταν μπήκε ο ίδιος μέσα, και συνειδητοποίησε ότι αυτή η επίδραση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του όγκου του στέμματος. Με την παραδοχή ότι το νερό πρακτικά είναι ασυμπίεστο, το αποτέλεσμα της βύθισης θα ήταν το στέμμα να εκτοπίσει μια ποσότητα νερού ίση με τον δικό του όγκο. Διαιρώντας την μάζα του στέμματος με τον όγκο του νερού που εκτοπίζεται, προκύπτει η πυκνότητα του στέμματος. Αυτή η πυκνότητα θα είναι μικρότερη από εκείνη του χρυσού, εάν κάποια φθηνότερα και λιγότερο πυκνά μέταλλα είχαν προστεθεί. Ο Αρχιμήδης ενθουσιάστηκε τόσο από την ανακάλυψή του ώστε βγήκε στο δρόμο γυμνός φωνάζοντας «Εύρηκα! Εύρηκα!». Η εξέταση του στέμματος απέδειξε ότι είχε νοθευτεί με σίδερο.

Η ιστορία του χρυσού στέμματος δεν εμφανίζεται στα γνωστά έργα του Αρχιμήδη. Επιπλέον, η πρακτικότητα της μεθόδου που περιγράφει έχει αμφισβητηθεί, λόγω της υψηλής ακρίβειας που χρειάζεται κάποιος για να μετρήσει τη μετατόπιση νερού. Αντ' αυτού ο Αρχιμήδης αναζήτησε μια λύση της υδροστατικής που αναφέρεται ως η γνωστή αρχή του Αρχιμήδη, την οποία ο ίδιος περιγράφει στο σύγγραμμά του Περί επιπλέοντων σωμάτων. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι ένα σώμα που βυθίζεται σε ένα ρευστό δέχεται μια δύναμη άνωσης ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει.

Χρησιμοποιώντας αυτή την αρχή, θα ήταν δυνατή η σύγκριση της πυκνότητας της χρυσής στεφάνης με εκείνη του στερεού χρυσού με την εξισορρόπηση της κορώνας σε ένα ζυγό με ένα δείγμα αναφοράς χρυσού, και στη συνέχεια βυθίζοντας τη συσκευή στο νερό. Η διαφορά πυκνότητας μεταξύ των δύο δειγμάτων θα μπορούσε να προκαλέσει την κλίμακα να ανατραπεί αναλόγως.Ο Γαλιλαίος έκρινε ότι «πιθανολογείται ότι η μέθοδος αυτή είναι η ίδια που ακολούθησε ο Αρχιμήδης, δεδομένου ότι, εκτός του ότι είναι πολύ ακριβής, βασίζεται σε επιδείξεις που παρουσίασε ο Αρχιμήδης ο ίδιος".

Σε ένα κείμενο του 12ου αιώνα με τίτλο Mappae clavicula υπάρχουν οδηγίες για το πώς να εκτελέσει κανείς τις ζυγίσεις στο νερό προκειμένου να υπολογίσει το ποσοστό του αργύρου που χρησιμοποιήθηκε, και ως εκ τούτου την επίλυση του προβλήματος. Το λατινικό ποίημα Carmen de ponderibus et mensuris του 4ου ή 5ου αιώνα περιγράφει τη χρήση της υδραυλικής ισορροπίας για την επίλυση του προβλήματος της κορώνας, και αποδίδει την μέθοδο στον Αρχιμήδη.   

Κοχλίας του Αρχιμήδη 

Ο κοχλίας του Αρχιμήδη μπορεί να ανεβάσει το νερό αποτελεσματικά

Ένα μεγάλο μέρος του έργου του Αρχιμήδη στη μηχανική προέκυψε από την ικανοποίηση των αναγκών της γενέτειρας πόλης του, των Συρακουσών. Ο Αθήναιος αναφέρει πώς ο βασιλιάς Ιέρων Β΄ ανέθεσε στον Αρχιμήδη να σχεδιάσει ένα τεράστιο πλοίο, τη Συρακουσία, το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για ταξίδια αναψυχής, για μεταφορά προμηθειών και ως πολεμικό πλοίο.Σύμφωνα με τον Αθήναιο, ήταν ικανό να μεταφέρει 600 άτομα και περιλάμβανε διακοσμητικούς κήπους, ένα γυμναστήριο και ένα ναό αφιερωμένο στη θεά Αφροδίτη. Δεδομένου ότι σε ένα πλοίο αυτού του μεγέθους θα διέρρεε σημαντική ποσότητα νερού διαμέσου του κύτους, ο κοχλίας του Αρχιμήδη εικάζεται ότι αναπτύχθηκε με σκοπό την απομάκρυνση του νερού.

Ο μηχανισμός συνίστατο σε ένα περιστρεφόμενο κοχλία σε σχήμα λεπίδας μέσα σε έναν κύλινδρο. Γυρνούσε χειροκίνητα και μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί για τη μεταφορά νερού από ένα χαμηλού επίπεδου σώμα του νερού σε κανάλια άρδευσης. Ο κοχλίας του Αρχιμήδη είναι ακόμα σε χρήση σήμερα για την άντληση υγρών και στερεών σε κόκκους, όπως ο άνθρακας και το σιτάρι. Ο κοχλίας του Αρχιμήδη όπως περιγράφονταν στα ρωμαϊκά χρόνια από τον Βιτρούβιο μπορεί να ήταν μια βελτίωση σε σχέση με μία αντλία-κοχλία που είχε χρησιμοποιηθεί για την άρδευση των Κρεμαστών Κήπων της ΒαβυλώναςΤο πρώτο στον κόσμο ατμόπλοιο με βιδωτή έλικα ήταν το SS Archimedes, το οποία ξεκίνησε να λειτουργεί το 1839 και ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Αρχιμήδη και του έργου του πάνω στον κοχλία.   

Αρπάγη του Αρχιμήδη

Η αρπάγη του Αρχιμήδη είναι ένα όπλο που λέγεται ότι είχε σχεδιαστεί για την άμυνα των Συρακουσών. Επίσης γνωστή ως «αναδευτής πλοίων», η αρπάγη αποτελούνταν από ένα βραχίονα-γερανό, από τον οποίο αναπτύσσονταν ένας μεγάλος μεταλλικός γάντζος. Όταν η αρπάγη θα έπεφτε πάνω στο επιτιθέμενο πλοίο ο βραχίονας θα ταλαντευόταν προς τα πάνω, τραβώντας το πλοίο έξω από το νερό και προκαλώντας τη βύθισή του. Υπήρξαν σύγχρονα πειράματα για να ελεγχθεί η σκοπιμότητα της Αρπάγης και το 2005 ένα τηλεοπτικό ντοκιμαντέρ με τίτλο Υπερόπλα του Αρχαίου Κόσμου, κατασκεύασε μια έκδοση της Αρπάγης και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ήταν μια λειτουργική συσκευή.

Έλιξ του Αρχιμήδους

  

Ακτίνα φωτός 

Ο Αρχιμήδης μπορεί να χρησιμοποίησε καθρέπτες οι οποίοι λειτουργούσαν συγκεντρωτικά σαν παραβολικό κάτοπτρο και έκαιγαν τα πλοία που επιτίθονταν στις Συρακούσες.

 

Το 2ο αιώνα μ.Χ. ο συγγραφέας Λουκιανός έγραψε ότι κατά τη διάρκεια της Πολιορκίας των Συρακουσών (214-212 π.Χ.), ο Αρχιμήδης κατέστρεψε εχθρικά πλοία με τη χρήση της φωτιάς. Αιώνες αργότερα, ο Ανθέμιος ο Τραλλιανός αναφέρει το φλεγόμενο γυαλί ως το όπλο του Αρχιμήδη. Η συσκευή, γνωστή και ως «Ακτίνα φωτός του Αρχιμήδη», χρησιμοποιούνταν για να συγκεντρώνει το ηλιακό φως στα επερχόμενα πλοία, με αποτέλεσμα αυτά να παίρνουν φωτιά.

Αυτό το υποτιθέμενο όπλο υπήρξε θέμα συνεχόμενης διαμάχης από την Αναγέννηση. Ο Ρενέ Ντεκάρτ το απέρριψε ως λανθασμένο, ενώ νέες έρευνες έχουν αποπειραθεί να αναπαραστήσουν το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας μόνο τα μέσα που ήταν διαθέσιμα στον Αρχιμήδη. Έχει προταθεί ότι μια μεγάλη παράταξη από αρκετά γυαλισμένες μπρούτζινες ή χάλκινες ασπίδες οι οποίες λειτουργούσαν σαν καθρέπτες θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιηθεί για να συγκεντρώσουν το ηλιακό φως στο πλοίο. Αυτό θα βασιζόταν στην αρχή του παραβολικού κατόπτρου με παρόμοιο τρόπο όπως σε έναν ηλιακό φούρνο.

Μια δοκιμή της ακτίνας φωτός του Αρχιμήδη έγινε το 1973 από τον Έλληνα επιστήμονα Ιωάννη Σάκκα. Το πείραμα έλαβε χώρα στη ναυτική βάση του Σκαραμαγκά έξω από την Αθήνα. Για αυτή τη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν 70 καθρέπτες, ο καθένας με χάλκινη επίστρωση και μέγεθος περίπου στα 1,5 επί 1 m. Οι καθρέπτες στράφηκαν σε ένα ομοίωμα από κόντρα πλακέ ενός Ρωμαϊκού πολεμικού πλοίου το οποίο βρισκόταν σε απόσταση κοντά στα 50 m. Όταν οι καθρέπτες σημάδεψαν με ακρίβεια το πλοίο, αυτό έπιασε φωτιά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το πλοίο από κόντρα πλακέ ήταν επιστρωμένο με βαφή πίσσας, η οποία μπορεί να βοήθησε στην ανάφλεξη. Η επίστρωση με βαφή πίσσας ήταν κοινότοπη στα πλοία την κλασσική εποχή.

Τον Οκτώβριο του 2005 μια ομάδα φοιτητών του Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μασαχουσέτης διεξήγαγε ένα πείραμα με 127 τετραγωνικά κεραμίδια καθρέπτη 30 cm, στοχεύοντας ένα ομοίωμα ξύλινου πλοίου σε απόσταση περίπου 30 m. Φλόγες ξέσπασαν σε ένα μπάλωμα του πλοίου αλλά μόνο όταν ο ουρανός δεν είχε σύννεφα και το πλοίο παρέμεινε στη θέση του για περίπου 10 λεπτά.

Προέκυψε το συμπέρασμα ότι η παράταξη ήταν ένα εφικτό όπλο κάτω από αυτές τις συνθήκες. Η ομάδα του ΜΙΤ επανέλαβε το πείραμα για την τηλεοπτική εκπομπή MythBusters, χρησιμοποιώντας μια ξύλινη βάρκα ψαρέματος στο Σαν Φρανσίσκο ως στόχο. Ξανά συνέβη μερική απανθράκωση, μαζί με μια μικρή φωτιά. Για να πιάσει φωτιά, το ξύλο χρειάζεται να φτάσει στη θερμοκρασία αυτανάφλεξης, που είναι γύρω στους 300 °C.

Όταν οι Mythbusters πρόβαλαν το αποτέλεσμα του πειράματος στο Σαν Φρανσίσκο τον Ιανουάριο του 2006, ο μύθος τοποθετήθηκε στην κατηγορία των «κατερριμένων» λόγω του χρόνου και των ιδανικών καιρικών συνθηκών που χρειαζόταν για να συμβεί η ανάφλεξη. Επίσης τονίστηκε ότι αφού οι Συρακούσες έβλεπαν την θάλασσα προς τα ανατολικά, ο ρωμαϊκός στόλος θα έπρεπε να επιτεθεί κατά τη διάρκεια του πρωινού για βέλτιστη συγκέντρωση φωτός από τους καθρέπτες. Οι Mythbusters τόνισαν επίσης ότι συμβατικά όπλα όπως φλεγόμενα βέλη ή βίδες από τους καταπέλτες θα ήταν ένας πολύ εύκολος τρόπος για να βάλουν φωτιά σε ένα πλοίο σε κοντινές αποστάσεις.

Τον Δεκέμβριο του 2010, οι Mythbusters άνοιξαν ξανά την υπόθεση της ακτίνας φωτός σε ένα σπέσιαλ επεισόδιο όπου συμμετείχε και ο Μπαράκ Ομπάμα με τον τίτλο «Η Πρόκληση του Προέδρου».

Αρκετά πειράματα διεξήχθησαν, συμπεριλαμβανομένης και μιας δοκιμής μεγάλης κλίμακας με 500 μαθητές να σημαδεύουν με τους καθρέπτες ένα ομοίωμα ενός ρωμαϊκού πλοίου σε απόσταση 120 m. Σε όλα τα πειράματα το ιστίο απέτυχε να φτάσει στους 210 °C που απαιτούνται για να πιάσει φωτιά και ο μύθος τοποθετήθηκε εκ νέου στην κατηγορία των «κατερριμένων». Η εκπομπή συμπέρανε πως ένα πιο πιθανό αποτέλεσμα των καθρεφτών θα ήταν να τυφλώνει, να εκθαμβώνει και να αποσπά την προσοχή του πληρώματος του πλοίου.

 

Άλλες ανακαλύψεις και εφευρέσεις

Παρότι δεν ήταν ο Αρχιμήδης που εφηύρε τον μοχλό, έδωσε μια εξήγηση για την αρχή στην οποία βασίζεται η χρήση του στο έργο του Περί επιπέδων ισορροπιών. Αρχαιότερες περιγραφές του μοχλού μπορούν να βρεθούν στην Περιπατητική Σχολή των υποστηρικτών του Αριστοτέλη και μερικές φορές αυτές αποδίδονται στον Αρχύτα. Σύμφωνα με τον Πάππο τον Αλεξανδρέα, το έργο του Αρχιμήδη πάνω στους μοχλούς τον έκανε να παρατηρήσει: «Δώστε μου ένα σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω τη Γη» (αρχαία: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).

O Πλούταρχος περιγράφει πώς ο Αρχιμήδης σχεδίαζε ανυψωτικά συστήματα τροχαλιών επιτρέποντας στους ναυτικούς να χρησιμοποιούν την αρχή της μόχλευσης για να σηκώνουν αντικείμενα που ειδάλλως δεν θα μπορούσαν να σηκώσουν. Στον Αρχιμήδη επίσης αποδίδεται η βελτίωση της δύναμης και της ακρίβειας του καταπέλτη καθώς και η εφεύρεση του οδομετρητή κατά τη διάρκεια του πρώτου Καρχηδονιακού πολέμου.

Ο οδομετρητής περιγράφεται ως ένα κάρο με μηχανισμό γραναζιού που έριχνε μια μπάλα σε ένα κιβώτιο κάθε φορά που συμπλήρωνε ένα μίλι.Επίσης κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας.

Ο Κικέρων(106-43 π.Χ.) αναφέρει εν συντομία τον Αρχιμήδη στο διάλογό του Περί δημοκρατίας, που απεικονίζει μια φανταστική συζήτηση η οποία λαμβάνει χώρα το 129 π.Χ.. Μετά την κατάκτηση των Συρακουσών το 212 π.Χ. λέγεται ότι ο Στρατηγός Μάρκος Κλαύδιος Μάρκελλος πήρε πίσω στη Ρώμη δύο μηχανισμούς, που κατασκευάσθηκαν από τον Αρχιμήδη και με εφαρμογή στην αστρονομία, το οποίο έδειχνε την κίνηση του Ηλίου, της Σελήνης και πέντε πλανητών. Ο Κικέρων αναφέρει παρόμοιους μηχανισμούς σχεδιασμένους από τον Θαλή τον Μιλήσιο και τον Εύδοξο τον Κνίδιο.

Ο διάλογος λέει πως ο Μάρκελλος κράτησε τον ένα από τους μηχανισμούς ως το μοναδικό προσωπικό λάφυρο από τις Συρακούσες και δώρισε τον άλλο στο Ναό της Αρετής στη Ρώμη. Ο μηχανισμός του Μάρκελλου παρουσιάστηκε από τον Γάιο Σουλπίκιο Γάλλο στον Λούκιο Φούριο Φίλο ο οποίος τον περιέγραψε:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.

Όταν ο Γάλλος μετακίνησε την υδρόγειο, τότε η Σελήνη ακολούθησε τον Ήλιο σε όσες στροφές και αν έκανε σε αυτή τη μπρούντζινη συσκευή όπως θα γινόταν και στον ουρανό, από την οποία είδαμε ότι επίσης στον ουρανό η έκλειψη Ηλίου ήταν η ίδια όταν η Σελήνη ερχόταν σε εκείνη την θέση ώστε να ρίχνει την σκιά της πάνω στην Γη, όταν τα τρία σώματα ήταν ευθυγραμμισμένα.

Αυτή είναι η περιγραφή ενός πλανητάριου ή πλανητοσκοπίου. Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς δήλωσε ότι ο Αρχιμήδης είχε γράψει ένα χειρόγραφο (σήμερα χαμένο) πάνω στην κατασκευή τέτοιων μηχανισμών με το τίτλο Περί σφαιροποιΐας. Πρόσφατες έρευνες σε αυτό το θέμα εστιάζουν στον Μηχανισμό των Αντικυθήρων, άλλη μία συσκευή από την κλασσική αρχαιότητα που πιθανότατα σχεδιάστηκε για τον ίδιο λόγο.

Η δημιουργία τέτοιου είδους μηχανισμών θα απαιτούσε προχωρημένη γνώση για τη λειτουργία του διαφορικού. Αυτό πιστευόταν ότι ήταν πέρα των δυνατοτήτων της τεχνολογίας στις αρχαίες εποχές, αλλά η ανακάλυψη του Μηχανισμού των Αντικυθήρων το 1902 επιβεβαίωσε το γεγονός ότι συσκευές τέτοιου είδους ήταν γνωστές στους αρχαίους Έλληνες.   

Μαθηματικά

Ενώ συχνά θεωρείται ως σχεδιαστής μηχανικών συσκευών, ο Αρχιμήδης έκανε επίσης συνεισφορές στον τομέα των μαθηματικών. Ο Πλούταρχος έγραψε: «Αφιέρωσε όλη του τη στοργή και τη φιλοδοξία του σε αυτές τις καθαρότερες εικασίες όπου δεν μπορεί να γίνει αναφορά στις χυδαίες ανάγκες της ζωής.»

Ο Αρχιμήδης μπορούσε να χρησιμοποιήσει τα απειροελάχιστα με τρόπο παρόμοιο με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Μέσω της Εις άτοπον απαγωγή απόδειξη μπορούσε να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα έως ένα αυθαίρετο βαθμό ακρίβειας, προσδιορίζοντας τα όρια μέσα στα οποία ίσχυε η απάντηση.
Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή ως η Μέθοδος της εξάντλησης και την εφάρμοσε για να προσεγγίσει την τιμή του αριθμού π. Στο Κύκλου Μέτρησις το έκανε αυτό ζωγραφίζοντας ένα μεγαλύτερο κανονικό εξάγωνο έξω από τον κύκλο και ένα μικρότερο κανονικό εξάγωνο μέσα στο κύκλο και προοδευτικά διπλασιάζοντας τον αριθμό των πλευρών και στα δύο κανονικά πολύγωνα, υπολογίζοντας το μήκος της πλευράς κάθε πολυγώνου σε κάθε βήμα.

Καθώς ο αριθμός των πλευρών αυξάνεται, γίνεται μια πιο ακριβής προσέγγιση του κύκλου. Μετά από 4 τέτοια βήματα, όταν τα πολύγωνα είχαν από 96 πλευρές το καθένα, ήταν σε θέση να προσδιορίσει ότι η τιμή του π βρισκόταν ανάμεσα στο 3¹⁄₇(περίπου 3,1429) και 3¹⁰⁄₇₁(περίπου 3,1408) εντός των ορίων αφού η τιμή προσεγγιστικά είναι 3,1416.

Επίσης απέδειξε ότι το Εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με το π πολλαπλασιασμένο με το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου (πr²). Στο Περί σφαίρας και κυλίνδρου δηλώνει ότι ένα μέγεθος όταν προστεθεί αρκετές φορές στον εαυτό του θα ξεπεράσει οποιοδήποτε άλλο μέγεθος. Αυτή είναι η Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών.

Στο Κύκλου Μέτρησις ο Αρχιμήδης υποστηρίζει ότι η τετραγωνική ρίζα του 3 βρίσκεται ανάμεσα στο ²⁶⁵⁄₁₅₃ (περίπου 1,7320261) και στο ¹³⁵¹⁄₇₈₀ (περίπου 1,7320512). Η πραγματική τιμή είναι περίπου 1,7320508, γεγονός που κάνει αυτό τον υπολογισμό πολύ ακριβή.

Παρουσίασε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς να προσφέρει καμία εξήγηση για το πως έφτασε σε αυτό. Αυτή η όψη του έργου του Αρχιμήδη ανάγκασε τον John Wallis να δηλώσει: «πιθανόν να κάλυψε τα ίχνη της ερευνάς του σκόπιμα επειδή θα ένιωθε ότι δίνει στους μεταγενέστερους το μυστικό της συλλογής πληροφοριών του, ενώ ταυτόχρονα ήθελε να αποσπάσει από αυτούς απαντήσεις για τα δικά του ευρήματα».Είναι πιθανό να χρησιμοποιούσε επαναληπτικές διαδικασίες για να υπολογίσει αυτές τις τιμές.

Στο Τετραγωνισμός της παραβολής ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από μία παραβολή και μια ευθεία γραμμή είναι ⁴⁄₃ φορές το εμβαδόν του αντίστοιχου εγγεγραμμένου τριγώνου όπως φαίνεται στην εικόνα δεξιά. Εξέφρασε τη λύση στο πρόβλημα ως μία άπειρη Γεωμετρική σειρά με λόγο ¹⁄₄.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}$

Αν ο πρώτος όρος σε αυτή τη σειρά είναι το εμβαδόν του τριγώνου, τότε ο δεύτερος είναι το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων των οποίων οι βάσεις είναι οι δύο μικρότερες διατέμνουσες γραμμές και ούτω καθεξής. Αυτή η απόδειξη χρησιμοποιεί μια παραλλαγή της σειράς 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +... η οποία έχει άθροισμα το ¹⁄₃.

Στο Ψαμμίτης, ξεκινά να υπολογίζει τον αριθμό των κόκκων άμμου που υπάρχουν στο σύμπαν. Στη προσπάθεια του, αντιτάχθηκε στην ιδέα ότι ο αριθμός των κόκκων άμμου ήταν πολύ μεγάλος για να υπολογισθεί. Έγραψε: «Υπάρχουν μερικοί, βασιλιά Γέλωνα (Γέλων ο Β΄, γιος του Ιέρωνα Β΄) που πιστεύουν ότι ο αριθμός της άμμου είναι άπειρος σε μέγεθος και όταν λέω άμμου δεν εννοώ την άμμο που υπάρχει στις Συρακούσες και στην υπόλοιπη Σικελία αλλά και αυτή που βρίσκεται σε κάθε περιοχή είτε κατοικείται είτε όχι». Για να λύσει το πρόβλημα, ο Αρχιμήδης επινόησε ένα σύστημα μέτρησης με μονάδα μέτρησης την μυριάδα.

Η λέξη προέρχεται από τη λέξη μυριάς, για τον αριθμό 10.000. Πρότεινε ένα σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιώντας μυριάδα μυριάδων (100 εκατομμύρια) και συμπέρανε ότι ο αριθμός των κόκκων άμμου που χωράει το σύμπαν είναι 8 εικοσάκις εκατομμύρια ή 8 × 10⁶³ 

 

Συγγράμματα

Τα έργα του Αρχιμήδη είχαν γραφτεί στη δωρική διάλεκτο, τη διάλεκτο των αρχαίων Συρακουσών.Τα γραπτά έργα του δεν έχουν διασωθεί όπως αυτά του Ευκλείδη, κι επτά από τις πραγματείες του είναι γνωστό ότι υπήρχαν μόνο μέσα από αναφορές που γίνονται σε αυτές από άλλους συγγραφείς. Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς αναφέρει το έργο του Αρχιμήδη Περί σφαιροποιΐας καθώς κι ένα άλλο πάνω στα πολύεδρα, ενώ ο Θέων ο Αλεξανδρεύς κάνει μία παρατήρηση σχετικά με τη διάθλαση από το μη διασωθέν σήμερα έργο του Αρχιμήδη Κάτοπτρα. Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ο Αρχιμήδης έκανε το έργο του γνωστό μέσω αλληλογραφίας με τους μαθηματικούς στην Αλεξάνδρεια.

Τα γραπτά του Αρχιμήδη συλλέχθηκαν από έναν αρχιτέκτονα της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας ονόματι Ισίδωρος ο Μιλήσιος (περ. 530 μ.Χ.), ενώ τα σχόλια για τα έργα του Αρχιμήδη γραμμένα από τον Ευτόχιο στον έκτο μ.Χ. αιώνα, βοήθησαν να διαδοθεί το έργο του σε ένα ευρύτερο κοινό. Έργο του Αρχιμήδη μεταφράστηκε στα αραβικά από τον Ταμπίτ ιμπν Κουρά (836-901 μ.Χ.), και στη λατινικήαπό τον Γεράρδο της Κρεμόνα (περ. 1114-1187 μ.Χ.). Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η Editio Princeps (Πρώτη έκδοση), δημοσιεύθηκε στη Βασιλεία το 1544 από τον Johann Herwagen, με τα έργα του Αρχιμήδη στην ελληνική και λατινική. Το έτος 1586, ο Γαλιλαίος Γαλιλέι εφηύρε ένα υδροστατικό ζυγό για τη ζύγιση των μετάλλων στον αέρα και στο νερό, εμπνευσμένος προφανώς από το έργο του Αρχιμήδη.

 

Διασωθέντα συγγράμματα

Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά, Βιβλ α' και β'

Το πρώτο βιβλίο αποτελείται από δεκαπέντε προτάσεις και επτά αξιώματα, ενώ το δεύτερο βιβλίο περιέχει δέκα προτάσεις. Σε αυτό το έργο του ο Αρχιμήδης εξηγεί το Νόμο του Μοχλού δηλώνοντας ότι:

"Τα μεγέθη είναι σε ισορροπία, όταν βρίσκονται σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες με το βάρος τους."

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί τις αρχές που προκύπτουν, για τον υπολογισμό των εμβαδών και των κέντρων βάρους των διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, όπως τρίγωνα, παραλληλόγραμμα και παραβολές.

Κύκλου μέτρησις. Σώζονται τρία θεωρήματα.

Αυτή είναι μια σύντομη εργασία που αποτελείται από τρεις προτάσεις. Είναι γραμμένη σε μορφή αλληλογραφίας με τον Δοσίθεο του Πηλουσίου, ο οποίος ήταν μαθητής του Κόνωνα του Σάμιου. Στη δεύτερη πρόταση, ο Αρχιμήδης δίνει μια προσέγγιση της τιμής του π, η οποία δείχνει ότι είναι μεγαλύτερη από ²²³⁄₇₁ και μικρότερη από ²²⁄₇.

Περί ελίκων (28 προτάσεις, 6 πορίσματα)

Αυτό το έργο των 28 προτάσεων, επίσης απευθυνόταν στον Δοσίθεο. Τούτη η πραγματεία ορίζει αυτό που σήμερα καλείται η σπείρα του Αρχιμήδη. Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που αντιστοιχούν στο σύνολο των διάφορων θέσεων, από τις οποίες διέρχεται ένα σημείο, με την πάροδο του χρόνου, καθώς αυτό κινείται μακριά από ένα σταθερό σημείο με μια σταθερή ταχύτητα κατά μήκος μίας γραμμής, η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Ισοδύναμα, σε πολικές συντεταγμένες (r, θ) μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση

${\displaystyle \,r=a+b\theta }$

με πραγματικούς αριθμούς a και b. Αυτό είναι ένα πρώιμο παράδειγμα μιας μηχανικής καμπύλης (καμπύλη που διαγράφεται από ένα κινούμενο σημείο), που θεωρείται από Έλληνα μαθηματικό.

Περί σφαίρας και κυλίνδρου, Βιβλίο α' και β'

Στην πραγματεία αυτή απευθυνόμενος στον Δοσίθεο, ο Αρχιμήδης κατορθώνει κάτι το οποίο τον έκανε να είναι ιδιαίτερα περήφανος. Αυτό το κάτι ήταν η ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ μίας σφαίρας κι ενός περιγεγραμμένου κυλίνδρου του ίδιου ύψους και της ίδιας διαμέτρου. Ο όγκος είναι ⁴⁄₃πr³ για τη σφαίρα, και 2πr³ για τον κύλινδρο. Το εμβαδόν επιφανείας είναι 4πr² για τη σφαίρα, και 6πr² για τον κύλινδρο (συμπεριλαμβανομένων των δύο βάσεων του), όπου r είναι η ακτίνα της σφαίρας και του κυλίνδρου. Η σφαίρα έχει όγκο τα δύο τρίτα του περιγεγραμμένου κυλίνδρου. Ομοίως, η σφαίρα έχει εμβαδόν τα δύο τρίτα του κυλίνδρου (συμπεριλαμβανομένων των βάσεων). Στον τάφο του Αρχιμήδη κατόπιν επιθυμίας του είχαν τοποθετηθεί δύο γλυπτά, μία σφαίρα κι ένας κύλινδρος.

Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 προτάσεις, 1 πόρισμα)

Αυτό είναι ένα έργο αποτελούμενο από 32 προτάσεις, που απευθύνονται στον Δοσίθεο. Σε αυτή την πραγματεία του ο Αρχιμήδης υπολογίζει τα εμβαδά και τους όγκους τμημάτων από κώνους, σφαίρες και παραβολοειδή.

Πρόβλημα Βοεικόν

Το έργο ανακαλύφθηκε από τον Gotthold Ephraim Lessing σε ένα ελληνικό χειρόγραφο αποτελούμενο από ένα ποίημα από 44 γραμμές, στη βιβλιοθήκη Herzog August στο Wolfenbüttel της Γερμανίας, το 1773. Απευθύνεται στον Ερατοσθένη και στους μαθηματικούς στην Αλεξάνδρεια. Ο Αρχιμήδης τους προκαλεί να μετρήσουν τον αριθμό των βοοειδών στην Αγέλη του Ήλιου, με την ταυτόχρονη επίλυση ενός αριθμού Διοφαντικών εξισώσεων. Υπάρχει και μια πιο δύσκολη έκδοση του προβλήματος στην οποία μερικές από τις λύσεις απαιτείται να είναι τέλεια τετράγωνα. Αυτή η έκδοση του προβλήματος λύθηκε για πρώτη φορά από τον Α. Amthorτο 1880 και η απάντηση είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, περίπου 7,760271 × 10^206544.

Ψαμμίτης

Σε αυτή την πραγματεία του, ο Αρχιμήδης μετρά τον αριθμό των κόκκων της άμμου που μπορούν να χωρέσουν μέσα στο σύμπαν. Το βιβλίο αναφέρει την ηλιοκεντρική θεωρία του ηλιακού συστήματος που προτείνεται από τον Αρίσταρχο το Σάμιο, καθώς και σύγχρονες ιδέες σχετικά με το μέγεθος της Γης και την απόσταση μεταξύ διάφορων ουράνιων σωμάτων. Με τη χρήση ενός συστήματος αριθμών υψωμένων σε μυριάδες(μυριάδα=10.000), ο Αρχιμήδης καταλήγει πως ο αριθμός των κόκκων της άμμου που απαιτείται για να γεμίσει το σύμπαν είναι 8 x 10⁶³ σε σύγχρονη σημειογραφία. Η εισαγωγική επιστολή αναφέρει ότι ο πατέρας του Αρχιμήδη ήταν αστρονόμος ονόματι Φειδίας. Ο Ψαμμίτης είναι το μόνο σωζόμενο έργο στο οποίο ο Αρχιμήδης συζητά τις απόψεις του σχετικά με την αστρονομία.

Τετραγωνισμός παραβολής

Στο έργο αυτό που αποτελείται από 24 προτάσεις ο Αρχιμήδης απευθυνόμενος στο Δοσίθεο, αποδεικνύει με δύο μεθόδους ότι το εμβαδόν που περικλείεται από μια παραβολή και μια ευθεία γραμμή ισούται με ⁴⁄₃ πολλαπλασιαζόμενο επί το εμβαδό ενός τριγώνου με την ίδια βάση και ύψος. Αυτό το κατάφερε με τον υπολογισμό της αξίας της γεωμετρικής σειράς που αθροίζεται στο άπειρο με λόγο ¹⁄₄.

Πρόσφατα (2006) διαβάστηκαν από το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη αποσπάσματα από τα έργα που διασώθηκαν σε αυτό:

Οστομάχιον

Αυτό είναι ένα τεμαχισμένο παζλ παρόμοιο με ένα tangram, κι η πραγματεία που το περιέγραφε βρέθηκε σε πιο ολοκληρωμένη μορφή στο Παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης υπολογίζει τα εμβαδά των δεκατεσσάρων κομματιών, τα οποία συναρμολογούμενα μπορούν να σχηματίσουν ένα τετράγωνο. Έρευνα που δημοσιεύθηκε το 2003 από τον Δρ.Reviel Netz του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ, υποστήριζε ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να καθορίσει με πόσους δυνατούς τρόπους θα μπορούσαν να τοποθετηθούν τα κομμάτια έτσι ώστε να συναρμολογήσουν ένα τετράγωνο. Ο Δρ Netz υπολογίζει πως τα κομμάτια μπορούν να δημιουργήσουν ένα τετράγωνο με 17.152 διαφορετικούς τρόπους.Ο αριθμός των διατάξεων είναι 536, όταν οι λύσεις που είναι ισοδύναμες με περιστροφή κι αντανάκλαση έχουν αποκλειστεί. Το παζλ αντιπροσωπεύει ένα παράδειγμα πρώιμου προβλήματος στη Συνδυαστική.

Η προέλευση του ονόματος του παζλ είναι ασαφής, και έχει υποστηριχθεί ότι αυτό έχει ληφθεί από την αρχαία ελληνική λέξη για το λαιμό ή τον οισοφάγο, στόμαχος. Ο Αυσόνιος αναφέρεται στο παζλ, με την ονομασία "Οστομάχιον", μια ελληνική σύνθετη λέξη που σχηματίζεται από τις ρίζες του ὀστέον (οστό) και της μάχης (αγώνας). Το παζλ είναι επίσης γνωστό ως μικρό πακέτο (loculus) του Αρχιμήδη ή Κουτί του Αρχιμήδη.

Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)

Η πραγματεία αυτή θεωρούνταν χαμένη μέχρι και την ανακάλυψη του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη το 1906. Σε αυτό το έργο του, o Αρχιμήδης χρησιμοποιεί απειροστικά και δείχνει πώς η διαμέλιση ενός σχήματος σε έναν άπειρο αριθμό, απείρως μικρών κομματιών, μπορεί να μας βοηθήσει στο να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ή και τον όγκο του. 

Ο Αρχιμήδης είχε υπόψη του πως αυτή η μέθοδος στερείται επίσημης αυστηρότητας, έτσι χρησιμοποίησε και τη μέθοδο της εξάντλησης για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων. Όπως και το Πρόβλημα Βοοειδών, έτσι κι αυτό το έργο ήταν γραμμένο με τη μορφή επιστολής προς τον Ερατοσθένη, στην Αλεξάνδρεια.

Περί των επιπλεόντων σωμάτων

Στο πρώτο μέρος αυτής της πραγματείας, ο Αρχιμήδης εξηγεί το νόμο της ισορροπίας των υγρών κι αποδεικνύει πως το νερό θα υιοθετήσει μια σφαιρική μορφή γύρω από ένα κέντρο βαρύτητας. Αυτό μπορεί να ήταν μια προσπάθεια για να εξηγήσει τη θεωρία των τότε σύγχρονων Ελλήνων αστρονόμων, όπως και του Ερατοσθένη, ότι η Γη είναι σφαιρική. Τα υγρά περιγράφονται από τον Αρχιμήδη ως μη αυτο-βαρυτικά, δεδομένου ότι υποθέτει την ύπαρξη ενός σημείου, προς το οποίο εμπίπτουν όλα τα αντικείμενα, με αποτέλεσμα να αποκτούν το σφαιρικό τους σχήμα.

Στο δεύτερο μέρος, υπολογίζει τις θέσεις ισορροπίας διάφορων τμημάτων από παραβολοειδή. Αυτό ήταν ίσως μια εξιδανίκευση των σχημάτων, που δημιουργούσε το βυθισμένο μέρος των πλοίων στο νερό. Κάποια από αυτά τα τμήματα επιπλέουν με τη βάση κάτω από το νερό και τη μέγιστη (σε ύψος) κορυφή πάνω από το νερό, παρόμοια με τον τρόπο με τον οποίο τα παγόβουνα επιπλέουν. Η αρχή της άνωσης του Αρχιμήδη παρατίθεται σε αυτό το έργο, ως εξής:

«Κάθε σώμα που είναι εξ ολοκλήρου ή μερικώς βυθισμένο σε ένα ρευστό, δέχεται μια ώθηση ίση σε μέγεθος, αλλά αντίθετης φοράς, με το βάρος του εκτοπισμένου ρευστού.»

Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνου

Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά)

Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων

Αρχαί της Γεωμετρίας

Οχουμένων (Υδροστατική επιπλεόντων σωμάτων)