αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε:
αx = θ ⇔ x = logαθ
Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ.
Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > 0 με α ≠ 1, τότε για κάθε x ∈ R και για κάθε θ > 0 ισχύει:
| logααx = x |
και
| αlogαθ = θ |
Εξάλλου, επειδή 1 = α0 και α = α1, ισχύει:
| logα1 = 0 |
και
logαα = 1
Ιδιότητες των λογαρίθμων
Οι ιδιότητες που ακολουθούν και είναι γνωστές ως ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι πολύ σημαντικές για το λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών.Οι ιδιότητες αυτές, όπως θα δούμε, προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων, πράγμα φυσικό άλλωστε, αφού και οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται ως εκθέτες δυνάμεων.
Αν α > 0 με α ≠ 1, τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ2, θ > 0 και k ∈ R ισχύουν:
1. logα(θ1θ2) = logαθ1 + logαθ2
2. logαθ1θ2 = logαθ1 - logαθ2
3. logαθk = klogαθ
Δεκαδικοί λογάριθμοι
Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 10. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι.
Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με logl0θ.
Επομένως:
logθ = x ⇔ 10x = θ
Φυσικοί λογάριθμοι
Γνωρίσαμε σε προηγούμενες παραγράφους τον αριθμό e και είδαμε τη σημασία του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι.
Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται με lnθ, και όχι με logeθ.
Επομένως:
lnθ = x ⇔ ex = θ
Αλλαγή βάσης
Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων.
Αν α, β > 0, με α, β ≠ 1 τότε για κάθε θ > 0 ισχύει: logβθ = logαθ/logαβ
No comments:
Post a Comment