Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

 Λογαριθμική συνάρτηση

 

Αν α > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log_αx:

● 

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, +∞)

● 

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

● 

Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι

αν     x₁ < x₂,     τότε     log_αx₁ < log_αx₂

απ' όπου προκύπτει ότι:

(log_αx < 0, αν 0 < x < 1) και (log_αx > 0, αν x >1)

 

● 

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy′.

Αν 0 < α < 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log_αx:

● 

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, +∞)

● 

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

● 

Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι

αν     x₁ < x₂,     τότε     log_αx₁ > log_αx₂

απ' όπου προκύπτει ότι:

(log_αx > 0, αν 0 < x < 1) και (log_αx < 0, αν x > 1)

● 

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy.

 

Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι:

αν x₁ ≠ x₂, τότε log_αx₁ ≠ log_αx₂

οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι:

αν log_αx₁ = log_αx₂, τότε x₁ = x₂

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

log_αx₁ = log_αx₂ ⇔ x₁ = x₂

 

Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για επίλυση εξισώσεων όπως π.χ. η log₂(x² - 1) = 3, που λύνεται ως εξής:

log₂(x² - 1) = 3

⇔ log₂(x² - 1) = log₂2³

⇔ log₂(x² - 1) = log₂8

⇔ x² - 1 = 8

⇔ x² = 9

⇔ x = 3     ή     x = -3

Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις.